Գոտֆրիդ Լեյբնից

Հեքիաթ հրաշամանուկ Գոտֆրիդ Լեյբնիցի մասին, ով ստեղծեց նոր մաթեմատիկա

Նիկոլայ Գորկավի

Ձեր առջև գրող, աստղաֆիզիկոս, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր Նիկոլայ Գորկավիի հերթական գիտական հեքիաթն է՝ տպագրության պատրաստվող «Ժամանակի ստեղծողները» ժողովածուից։ Դուք նորից կհանդիպեք արքայադուստր Ձինտարայի և նրա երեխաների`Գալատեայի և Անդրեյի հետ, ովքեր հեթիաթից հեքիաթ, բազմաթիվ հետաքրքիր բաներ են իմանում գիտության աշխարհից, ծանոթանում են մեծ գիտնականներին և ականավոր գյուտերին:

 -Այսօր ես կպատմեմ մի հրաշամանուկ տղայի մասին, ով կարողացավ իրեն անծանոթ լեզվով գրքեր կարդալ,-սկսեց արքայադուստր Ձինտարան:

-Այ քեզ կարողություն.-նկատեց Անդրեյը, թեպետ, անկեղծ ասած, նա դա չէր պատկերացնում:

-Ինչպե՞ս կարող ես կարդալ, եթե չգիտես լեզուն. –զարմացավ Գալատեան:

-Ամեն ինչ սկսվեց նրանից,-շարունակեց Ձինտարան- որ փոքրիկ Գոտֆրիդը սիրում էր լսել իր հոր`Լեյպցիգի համալսարանում փիլիսոփայության ու բարոյագիտության պրոֆեսոր Ֆրիդրիխ Լեյբնիցի զվարճալի պատմությունները: Ինչի մասին էլ որ լիներ խոսքը՝ թագավորների թե զորավարների, գիտնականների թե գյուտարարների, պատերազմների մասին ցամաքում թե ծովում, շատ հետաքրքիր էր: Տղան միայն  երազում էր՝ շուտ լավ կարդալ սովորեր, որպեսզի կարողանար ինքնուրույն մխրճվեր իր հոր գրադարակի գրքերի մեջ։ Գոտֆրիդը յոթ տարեկան չկար, երբ նրա հայրը մահացավ: Գրադարանը կողպեցին, և այն դարձավ տղայի համար անհասանելի երազանք:

Մի անգամ Գոտֆրիդը տանը ինչ-որ ուսանողի թողած լատիներեն երկու գիրք գտավ։ Տղան նոր էր սկսել լատիներեն սովորել դպրոցում, իսկ լատիներեն-գերմաներեն բառարան տանը չկար, բայց նոր գիրքը կարդալ նա շատ էր ուզում: Գոտֆրիդը գնում էր այգի, նստում նստարանին և փորձում հասկանալ անծանոթ բառերը: Նա շատ համառ էր. կարդում և համադրում էր իրադարձությունները, փորձում էր գուշակել անծանոթ բառերի իմաստը, ուսումնասիրում էր նկարները, ինչը նույնպես հուշում էր տալիս տեքստը հասկանալու համար: Նա հասավ իր ուզածին. կարդաց և հասկացավ երկու գրքերն էլ:

-Կեցցե ինքը,- բարի նախանձով ասաց Գալատեան:

-Գոտֆրիդը սովորում էր Լեյպցիգի Սուրբ Թովմայի հայտնի դպրոցում: Նրա ապշեցուցիչ հաջողությունները լատիներենի ուսումնասիրման մեջ չվիրիպեցին ուսուցչի ուշադրությունից, սակայն երբ նա իմացավ, որ տղան կարդում է մեծերի համար նախատեսված գրքեր, եկավ նրանց տուն և խնդրեց այդ գրքրերի փոխարեն տալ նրան մանկական գրքրեր, որոնք կհամապատասխանեն նրա տարիքին: Գոտֆրիդը կարող էր զրկվել ընթերցանությունից, բայց խոսակցությանը խառնվեց ընտանիքի բարեկամ մի կրթված և շատ ճանապարհորդած ազնվական: Նա ոչ միայն համոզեց դաստիարակներին չվերցնել տղայից գրքերը, այլև պահանջեց, որ բացեն տղայի առջև հայրական գրադարանի դռները: Տղան այնպես հարձակվեց գրքերի վրա, ինչպես սոված մարդը`ուտելիքի: Հետագայում նա գրեց. «Ես այնպես էի ցնծում, կարծես թե գանձ էի գտել, ես կարդում էի ըստ ճաշակի և վայելում առարկաների արտասովոր բազմազանությունը»: Տասը տարեկանում նա ուսումնասիրել էր Պլատոնի, Պլինիոսի, Ցիցերոնի, Հերոդոտոսի աշխատությունները: Տասերկու տարեկաննում հիանալի տիրապետում էր լատիներին, և սկսել էր հասկանալ հունարենը, որ հոր գրքրեի մի մասի լեզուն էր: Տասներեք տարեկանում նա ազատ կարողանում էր լատիներեն բանաստեղծություններ գրել , իսկ տասնչորս տարեկանում գրում էր իր մտքերը հատուկ տերտրում: Հասուն տարիքում Լեյբնիցը նկատել է. «Այն, ինչ ես գրել եմ տասնչորս տարեկանում, ավելի հասուն տարիքում վերընթերցելով մեծ հաճույք եմ ստանում»: Տասնհինգ տարեկանում Լեյբնիցը ընդունվում է Լեյպցիգի համալսարան, որտեղ աշխատել էր նրա հայրը: Երկու տարի անց տեղափոխվում է Իենայի համալսարան, որտեղ ուսումնասիրում է մաթեմատիկա: Իր գիտելիքներով նա առաջ է անցնում ավագ ուսանողներից: Տաղանդավոր երիտասարդը երեք տարում ավարտում է համալսարանական դասընթացը և ստանում մագիստրոսի կոչում: Քսան տարեկանում  կրթվածությամբ նա գերազանցում էր իր պրոֆեսորներին, և որոշեց քննություն հանձնել, որպեսզի ստանա դոկտորական կոչում իրավաբնության ոլորտում: Բայց քննության նախօրյակին, երբ նա դեկանի տուն գնաց, դեկանի կինը, տեսնելով, որ հայցվորն այսքան երիտասարդ է, ներս չթողեց նրան և հայտարարեց.

-Չէր խանգարի՝ նախ մի փոքր մորուք երկարացնեիր, հետո այսպիսի գործերով դիմեիր:

Գալատեան և Անդրեյը սկսեցին ծիծաղել դեկանի հանդուգն կնոջ վրա, իսկ Ձինտարան շարունակեց պատմությունը:

-Վիրավորված Լեյբնիցը գնաց և ալևս չվերադարձավ. դոկտորական կոչում նա ստացավ ուրիշ համալսարանում, քանի որ զարմանալիորեն բազմակողմանի զարգացած մարդ էր. նրա մեջ միավորված էին մաթեմատիկոսի, ֆիզիկոսի, փիլիսոփայի, տրամաբանի, իրավաբանի, գյուտարարի, լեզվաբանի, դիվանագետի և պատմաբանի տաղանդները:

-Իսկ ո՞ր գիտության մեջ նա հասավ ամենամեծ բարձրունքներին,- հարցրեց Անդրեյը։

-Նրա ամենամեծ ձեռբերումը դիֆերենցյալ հաշվի ստեղծումն է: Այդ թեմայով նրա հոդվածը տպագրվել է 1684 թվականին, որը դարձավ նոր մեթոդի պաշտոնական ստեղծման տարին: Այդ ժամանակ հայտնի գիտնական Իսահակ Նյուտոնը նույնպես բացահայտել էր մաթեմատիկայի այդ ճյուղը, բայց հրապարակել իր աշխատանքները չէր շտապում: Հայտնի անգլիացին դժկամությամբ էր տպագրում իր աշխատանքները, քանի որ դրանք մշտապես առաջացնում էին քննադատությունների ալիք, որոնց պատասխանել չէր ցանակնում: Միայն 1693թվականին Նյուտոնը վերջապես հրապարակեց դիֆերենցյալ հաշվի իր տարբերակը: Դրանից հետո Նյուտոնի և Լեյբնիցի կողմնակիցների միջև սկսվեցին թեժ վեճեր, թե ով է առաջինը: Բայց ամեն դեպքում Լեյբնիցը Նյուտոնից անկախ ստեղծել է մաթեմատիկայի նոր ճյուղ, որը կոչվում է մաթեմատիկական անալիզ և ներառում է ինչպես դիֆերենցյալ այնպես էլ ինտեգրալ հաշիվ, որի համար ստեղծեց սիմվոլներ և տերմինաբանություն: Նրա բոլոր բնորոշումները օգտագործվում են առ այսօր: Միայն ինտեգրալ տերմինը պատկանում է Լեյբնիցի աշակերտին՝ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիին (1654-1705):

-Իսկ ինչ է դիֆերենցյալ հաշիվը,- հարցրեց Գալատեան:

Ձինտարան ընկավ մտածմունքի մեջ: Երեխաները հաճախ են դժվար և անհարմար հարցեր տալիս, բայց նա որոշեց չխուսափել պատասխանից:

-Հանրահաշիվը և երկրաչափությունը հայտնի են հնուց, և դրանք օգնում են մարդկանց հաշվել ցորենի պարկերը, պարզել տակառներում ջրի կամ գինու ծավալը, որոշել  երկու օբյեկտների միջև հեռավորությունը, բայց կյանքը բազմազանությամբ դուրս է գալիս պարկերի և տակառների սահմանից: Պատկերացրեք մի կառք, որը լծված է չորս ձիերի, և գնում է Բեռլինից Լայպցիգ:

-Կառքը լաքապատված է, իսկ ձիերը զանգակներով են,-ճշտեց Գալատեան:

-Իհարկե- համաձայնեց Ձինտարան -Եթե մենք մի հասարակ հարց տանք՝ ինչպիսի արագությամբ է ընթանում կառքը, մեզ չի օգնի ո՛չ թվաբանությունը, ո՛չ երկրաչափությունը:

-Ինչո՞ւ չէ,- առարկեց Անդրեյը, ով դպրոցում լուծել էր այդպիսի խնդիրներ:-Ես կվեցնեմ Բեռլինի և Լեպցիգի միջև հեռավորությունը, կբաժանեմ այն ժամանակի վրա, որի ընթացքում կառքը կտրել է ճանապարհը, և կստանամ արագությունը:

-Ճիշտ է, բայց դու կստանաս միջին արագություն, բայց չէ՞ որ կառքը կանգնել է ճանապարհին գիշերելու համար:

-Մութ անտառում՝ կրակի մոտ-համոզված նշեց Գալատեան:

-Կամ էլ ճանապարհամերձ մի հյուրանոցի մոտ, կամ գետանցին  սպասելիս։ Իսկ մի տեղ կառքը սլացել է լավ ճանապարհով հնարավոր ողջ արգությամբ։

- Փախչելով ավազակներից-ենթադրեց Անդրեյը:

-Ինչպես նկարագրել այդ անհավասարաչափ շարժումը: Ինչպես մաթեմատիկորեն որոշել արագությունը ժամանակի տվյալ պահին:

-Դրա համար պետք է նայել արագաչափին-ասաց Գալատեան:

-Հիանալի միտք է-ժպտաց Ձինտարան:-Արագաչափը իսկապես տվյալ պահին ակընթարթային արագությունը միանգամից նշում է, բայց մեզ հիմա հետաքրքիր է ոչ թե փաստացի արդյունքը, այլ արագության որոշման ընդհանուր մեթոդը, որը հենց դրված է արագաչափի աշխատանքի հիմքում: Որպեսզի որոշենք կառքի արագությունը ժամանակի ցանկացած պահին, պետք է օգտվենք Անդրեյի առաջարկած մեթոդից,  հեռավորությունը ժամանակի վրա բաժանման միջոցով։ Բայց դա պետք է օգտագործել ոչ թե ամբողջ ճանապարհի, այլ կառքի անցած շատ փոքր հատվածի համար:

-Իհարկե, պետք է չափել՝ քանի մետր է անցնում կառքը մեկ վայրկյանում, դա իհարկե կլինի կառքի արագությունը,- ոգևորված համաձայնեց Անդրեյը:

-Իհարկե, դա ավելի ճշգրիտ է, բայց ինչ անել, եթե հանկարծ այդ վայրկյանին կառքը կտրուկ արգեալկի: Այդ դեպքում վայրկյանը կլինի շատ մեծ ինտերվալ արագության ճշգրիտ որոշման համար:

-Դա նշանակում է, որ պետք է վերցնել ժամանակի ավելի փոքր հատված, վայրկյանի մեկ տասներորդ կամ մեկ հարյուրերորդ մասը, առաջարկեց Անդրեյը:

-Այ այդպիսի ճանապարհով էլ գնաց Լեյբնիցը, երբ մշակում էր դիֆերենցյալ հաշիվը. կառքի արագությունը որոշելու համար նա վերցրեց S ճանապարհի անսահմանորեն փոքր հատված, որը պայմանականորեն նշանակեց dS, և բաժանեց այն անսահմանորեն փոքր ժամանակի վրա, որը նշանակեց dT: Ստացվեց կառքի արագությունը V=dS/sT: Մինչև հիմա էլ այդպես է նշանակվում գիտության մեջ:

-Իսկ որն է այստեղ մաթեմատիկայի նոր ճյուղը.-հետաքրքրվեց Անդրեյը:

-Դա հենց ինքը՝ նոր մաթեամտիկան է: dS և dT մեծությունները անվանում են ճանապարհի և ժամանակի դիֆերենցյալներ, իսկ dS/dT հարաբերությունն անվանում են ժամանակի և ճանապարհի ածանցյալ, իսկ ածանցյալը գտնելը անվանում են դիֆերենցում:

-Իսկ այս պարզագույն բաները համարում են շատ կարևոր հայտնագործություններ.-հարցրեց Գալատեան:

-Իհարկե, որովհետև մենք սկսեցինք աշխատել ոչ թե թվերի, այլ նրանց փոփոխությունների հետ: Դիֆերենցյալ հաշիվը  ծագում է լատիներեն «դիֆերենցյալ»՝ տարբերություն բառից: Մենք ստեղծել ենք մաթեմատիկական գործողություններ , որոնք բնութագրում են ֆիզիկական մեծության աճը կամ նվազումը իրական աշխարհում: Վերցնում ենք ճանապարհի ածանցյալը ժամանակի ընթացքում և ստանում ենք նրա արագությունը: Կարող ենք նաև վերցնել արագության ածանցյալը ժամանակի ընթացքում և գտնել նրա արագացումը:

-Նշանակում է, հիմա մենք կարող ենք որոշել՝ ինչ արագությամբ են սլանում ավտոմրցարշավորորդներն իրենց ասուպներով,- ոգևորությամբ հարցրեց Անդրեյը:

-Այո և դեռ ավելին, եթե իմանանք ինչպես է փոխվում մեքենայի արագությունը, շատ հեշտությմաբ կարելի է գտնել նրա արագությունը՝ հաշվելով այսպես կոչված դիֆերենցյալ հաշիվը: Արագության առաջին ածանցյալը ժամանկի ընթացքում հավասար է մեքենայի արագացմանը:

-Իսկ չէ՞ որ արագությունը նույնպես ճանապարհի ածանցյալն է-հիշեցրեց Անդրեյը:

-Այո, մենք կարող ենք գրել հավասարում այս տեսքով: Արագացումը հավասար է ճանապարհի երկրորդ ածանցյալին:

-Մաթեմատիկոսները եղանակներ են գտել շատ դիֆերենցյալ հավասարումների լուծման համար. դրանց միջոցով հաշվարկվում են մեզ հետաքրքիր մեծությունները, ճանապարհը և մեքենաների արագությունը՝ ըստ նրանց արագացման, մարդկության բնակչության աճը՝ ըստ ծնելիության, կամ արբանյակի շարժման հետագծով երկրի ձգողականության ուժը: Դիֆերենցյալ հաշիվը ղեկավարում է աշխարհը, պետք է ուղղակի սովորել այն ճիշտ կազմել և լուծել:

-Սպասի՛ր, մայրիկ.-ընդհատեց Գալատեան, -դու ասացիր, որ մաթեմատիկոսները կարողանում են լուծել շատ դիֆերենցյալ հավասարումներ, դա նշանակում է, որ որոշ հավասարումներ կան, որոնք դեռ լուծված չե՞ն:

-Իհարկե.-հաստատեց Ձինտարան: - Շատ դիֆերենցյալ հավասարումներ չունեն իրենց անալիտիկ լուծումները, որոնք կարելի է գրառել մաթեմատիկական ֆունկցիաների տեսքով: Այնպիսի դիֆերենցյալ հավասարումներ, ինչպիսին է Նյուտոնի երկնային մեխանիկայի հավասարումը, Ստոքսի հիդրոդինամիկան, Մաքսվելի էլեկտրոդինամկիան, Էյնշտեյնի ձգողականությունը, լուծված են շատ պարզագույն դեպքերի համար: Հիմա դիֆերենցյալ հավասարումների լուծմանը կցված են շատ հզոր համակարգիչներ, և նրանք հաճախ տալիս են թվաբանական լուծումներ, ոչ թե անալիտիկ ֆունկցիաների, այլ թվերի աղյուսակների տեսքով: Էլեկտրական մեքենաները անզոր են դիֆերենցյալ հավասարումների առաջ: Գլխավոր խնդիրը չէ, որ դիֆերենցյալ հավասրումները դժվար է լուծել, միևնույն է համակարգիչները դառնում են ավելի հզոր և գնալով նրանք լուծում են ավելի բարդ հավասարումներ: Հիմնական խնդիրը, որ կանգնած է գիտնականների առաջ, կենսաբանների և սոցիոլոգների առաջ, նա է, որ մենք չենք կարողանում բացահայտել դիֆերենցյալ հաշիվը, որը նկարագրում է մարդկային օրգանիզմի և մարդկային հասարակության փոփոխությունը:

-Իսկ այդպիսի հավասարում գոյություն ունի՞,- հարցրեց Անդրեյը:

-Ինչ-որ հաշվով՝ այո, որովհետև պրոցեսները, որոնք կատարվում են օրգանիզմում և հասարակության մեջ, նույնպես կարելի է համարել մաթեմատիկական հավասարման համակարգ, բայց այս համակարգը խելքից դուրս բարդ է, և ոչ ոք չի մոտեցել դրա բացահայտմանը: Բայց եթե մարդիկ տիրապետեին համապատասխան մաթեմատիկական ապարատի, ապա կկարողանային երկարացնել մարդկանց կյանքը,  գուշակել ապագան և խուսափել շատ դժբախտություններից:

Ձինտարան դադարեց խոսելուց և նայեց երեխաներին. «Երևում է՝ դիֆերենցյալ հավասարումները նախատեսված չեն երեխաներին քնացնելու համար», -մտահոգվեց նա:

Նյութի աղբյուրը